다변수 함수를 실생활에 응용할 때 변수 중 하나가 변하면 함숫값이 어떻게 달라지는지에 대해 가끔 관심을 갖는다. 예를 들면 어떤 경제학자가 국가경제에서 세금인상의 영향을 알아보려면 모든 다른 변수, 즉 실업률 같은 변수를 상수로 고정하고 다른 세율을 사용하여 계산해야 한다. 비슷한 과정으로 독립변수 중 어느 하나에 관해 함수 f의 변화율을 구할 수 있다. 즉 다른 변수(들)는 상수로 유지하고 한 독립변수에 관해 f의 도함수를 구한다. 이 과정을 편미분(partial differentiation)이라 하고 각 도함수를 편도함수(partial derivative)라고 한다. 다변수 함수는 그 독립변수만큼 많은 편도함수를 갖는다.
이변수 함수의 편도함수
만약 z=f(x, y)이면 x와 y에 관한 f의 일계편도함수(first partial derivatives of f with respect ro x and y) ∂z/∂x와 ∂z/∂y는 다음과 같이 정의된다.
∂z/∂x = lim(∆x->0) f(x+∆x, y) - f(x, y)/∆x (y = 상수)
∂z/∂y = lim(∆y->0) f(x, y +∆y) - f(x, y)/∆y (x = 상수)
이변수 함수의 편도함수
만약 z=f(x, y)이면 x와 y에 관한 f의 일계편도함수(first partial derivatives of f with respect ro x and y) ∂z/∂x와 ∂z/∂y는 다음과 같이 정의된다.
∂z/∂x = lim(∆x->0) f(x+∆x, y) - f(x, y)/∆x (y = 상수)
∂z/∂y = lim(∆y->0) f(x, y +∆y) - f(x, y)/∆y (x = 상수)
